2D Centroidal Voronoi Tessellations with Constraints

International audienceWe tackle the problem of constructing 2D centroidal Voronoi tessellations with constraints through an efficient and robust construction of bounded Voronoi diagrams, the pseudo-dual of the constrained Delaunay triangulation. We exploit the fact that the cells of the bounded Voronoi diagram can be obtained by clipping the ordinary ones against the constrained Delaunay edges. The clipping itself is efficiently computed by identifying for each constrained edge the (connected) set of triangles whose dual Voronoi vertex is hidden by the constraint. The resulting construction is amenable to Lloyd relaxation so as to obtain a centroidal tessellation with constraints

Anisotropic Delaunay Meshes of Surfaces

Anisotropic simplicial meshes are triangulations with elements elongated along prescribed directions. Anisotropic meshes have been shown to be well suited for interpolation of functions or solving PDEs. They can also significantly enhance the accuracy of a surface repre- sentation. Given a surface S endowed with a metric tensor field, we propose a new approach to generate an anisotropic mesh that approximates S with elements shaped according to the metric field. The algorithm relies on the well-established concepts of restricted Delaunay triangulation and Delaunay refinement and comes with theoretical guarantees. The star of each vertex in the output mesh is Delaunay for the metric attached to this vertex. Each facet has a good aspect ratio with respect to the metric specified at any of its vertices. The algorithm is easy to implement. It can mesh various types of surfaces like implicit surfaces, polyhedra or isosurfaces in 3D images. It can handle complicated geometries and topologies, and very anisotropic metric fields.Les maillages anisotropes simpliciaux sont des triangulations dont les éléments sont étirés suivant certaines directions imposées. Les maillages anisotropes sont connus pour être bien adaptés à l'interpolation de fonctions ou à la résolution d'équations aux dérivées partiellles. Ces maillages peuvent aussi améliorer notablement la précision de l'approximation d'une surface. Etant donnée une surface S, munie d'un champs de tenseurs qui définit la métrique en tout point de la surface, nous proposons un nouvel algorithme pour générer un maillage anisotrope qui approxime S par des triangles dont les formes s'adaptent à la métrique locale. L'algorithme repose sur les concepts bien établis de triangulation de Delaunay restreinte et de raffinement de Delaunay et offre des garanties théoriques. L'étoile de chaque sommet dans le maillage est formée par des triangles de Delaunay pour la métrique du sommet central. Chaque triangle a un bon rapport d'aspect dans la métrique attachée à chacun de ces sommets. L'algorithme est facile à programmer. Il permet de mailler diff'rents types de surfaces, comme des surfaces implicites, des polyèdres ou encores des isosurfaces dans des images 3D. L'algorithme peut traiter des surfaces de géométrie ou topologie complexe, il peut aussi prendre en compte des anisotropies très prononcées

Mesh Optimization

In this thesis, a practical approach to isotropic triangle mesh generation is proposed. In 2D as in 3D, the goal is to mesh the interior of a domain that possibly has a complex geometry. The studied approach consists in interleaving Delaunay refinement steps and mesh optimization steps, in order to generate quality graded meshes that satisfy size, shape, topology and approximation user-defined criteria for simplices. Widely used for simulation, finite element methods need graded meshes composed of well-shaped simplices. Alternatives to usual Delaunay refinement methods are developed. New mesh optimization methods, able to optimize internal and boundary vertices locations and to preserve the input boundary features, including sharp creases, are studied. In 2D, the optimization method is based on the Lloyd iteration and centroidal Voronoi tessellations (CVT). In 3D, a natural extension to optimal Delaunay triangulations (ODT) introduced by Chen that is able to optimize boundary vertices locations, is proposed. Our tetrahedron meshing algorithm is completed with a post-processing step that significantly improves the quality of tetrahedra dihedral angles. We finally give some experimental evidence that interleaving refinement and optimization results in generating meshes of higher quality than usual methods, in terms of simplices angles and number of vertices.Dans cette thèse, une approche pratique pour la génération de maillages triangulaires isotropes est proposée. En 2D comme en 3D, l'ob jectif consiste à mailler un domaine donné, pouvant avoir une géométrie complexe. L'approche présentée consiste à entrelacer des étapes de raffinement de Delaunay et des étapes d'optimisation de maillages dans le but de générer des maillages gradés de qualité. L'utilisateur peut contrôler les caractéristiques du maillage en définissant des critères de taille et de forme des simplexes, ainsi que de topologie et d'approximation. Les méthodes par éléments finis, largement utilisées en simulation, nécessitent des maillages gradés, composés de simplexes bien formés. Des alternatives aux méthodes de raffinement de Delaunay usuelles sont développées. Les méthodes d'optimisation de maillages proposées permettent d'optimiser la position des sommets intérieurs et de ceux du bord. Les caractéristiques du bord du domaine à mailler, et en particulier des arêtes vives, sont préservées par ces méthodes. En 2D, l'optimisation est basée sur l'algorithme de Lloyd et les diagrammes de Voronoi centrés (CVT). En 3D, une extension naturelle des triangulations de Delaunay optimales (ODT) de Chen, capable d'optimiser la position des sommets du bord du maillage, est introduite. Notre algorithme de maillage tétraédrique est enrichi par une étape de post-traitement permettant d'améliorer de façon significative la qualité des angles dièdres du maillage. Nous montrons que l'entrelacement d'étapes de raffinement et d'optimisation permet d'obtenir des maillages de meilleure qualité que ceux générés par les méthodes connues en termes d'angles dans les simplexes et de complexité

Mesh Optimization

In this thesis, a practical approach to isotropic triangle mesh generation is proposed. In 2D as in 3D, the goal is to mesh the interior of a domain that possibly has a complex geometry. The studied approach consists in interleaving Delaunay refinement steps and mesh optimization steps, in order to generate quality graded meshes that satisfy size, shape, topology and approximation user-defined criteria for simplices. Widely used for simulation, finite element methods need graded meshes composed of well-shaped simplices. Alternatives to usual Delaunay refinement methods are developed. New mesh optimization methods, able to optimize internal and boundary vertices locations and to preserve the input boundary features, including sharp creases, are studied. In 2D, the optimization method is based on the Lloyd iteration and centroidal Voronoi tessellations (CVT). In 3D, a natural extension to optimal Delaunay triangulations (ODT) introduced by Chen that is able to optimize boundary vertices locations, is proposed. Our tetrahedron meshing algorithm is completed with a post-processing step that significantly improves the quality of tetrahedra dihedral angles. We finally give some experimental evidence that interleaving refinement and optimization results in generating meshes of higher quality than usual methods, in terms of simplices angles and number of vertices.Dans cette thèse, une approche pratique pour la génération de maillages triangulaires isotropes est proposée. En 2D comme en 3D, l'ob jectif consiste à mailler un domaine donné, pouvant avoir une géométrie complexe. L'approche présentée consiste à entrelacer des étapes de raffinement de Delaunay et des étapes d'optimisation de maillages dans le but de générer des maillages gradés de qualité. L'utilisateur peut contrôler les caractéristiques du maillage en définissant des critères de taille et de forme des simplexes, ainsi que de topologie et d'approximation. Les méthodes par éléments finis, largement utilisées en simulation, nécessitent des maillages gradés, composés de simplexes bien formés. Des alternatives aux méthodes de raffinement de Delaunay usuelles sont développées. Les méthodes d'optimisation de maillages proposées permettent d'optimiser la position des sommets intérieurs et de ceux du bord. Les caractéristiques du bord du domaine à mailler, et en particulier des arêtes vives, sont préservées par ces méthodes. En 2D, l'optimisation est basée sur l'algorithme de Lloyd et les diagrammes de Voronoi centrés (CVT). En 3D, une extension naturelle des triangulations de Delaunay optimales (ODT) de Chen, capable d'optimiser la position des sommets du bord du maillage, est introduite. Notre algorithme de maillage tétraédrique est enrichi par une étape de post-traitement permettant d'améliorer de façon significative la qualité des angles dièdres du maillage. Nous montrons que l'entrelacement d'étapes de raffinement et d'optimisation permet d'obtenir des maillages de meilleure qualité que ceux générés par les méthodes connues en termes d'angles dans les simplexes et de complexité

Mesh optimization

Dans cette thèse, une approche pratique pour la génération de maillages triangulaires isotropes est proposée. En 2D comme en 3D, l'objectif consiste à mailler un domaine donné, pouvant avoir une géométrie complexe. L'approche présentée consiste à entrelacer des étapes de raffinement de Delaunay et des étapes d'optimisation de maillages dans le but de générer des maillages gradés de qualité. L'utilisateur peut contrôler les caractéristiques du maillage en définissant des critères de taille et de forme des simplexes, ainsi que de topologie et d'approximation. Les méthodes par éléments finis, largement utilisées en simulation, nécessitent des maillages gradés, composés de simplexes bien formés. Des alternatives aux méthodes de raffinement de Delaunay usuelles sont développées. Les méthodes d'optimisation de maillages proposées permettent d'optimiser la position des sommets intérieurs et de ceux du bord. Les caractéristiques du bord du domaine à mailler, et en particulier des arêtes vives, sont préservées par ces méthodes. En 2D, l'optimisation est basée sur l'algorithme de Lloyd et les diagrammes de Voronoi centrés (CVT). En 3D, une extension naturelle des triangulations de Delaunay optimales (ODT) de Chen, capable d'optimiser la position des sommets du bord du maillage, est introduite. Notre algorithme de maillage tétraédrique est enrichi par une étape de post-traitement permettant d'améliorer de façon significative la qualité des angles dièdres du maillage. Nous montrons que l'entrelacement d'étapes de raffinement et d'optimisation permet d'obtenir des maillages de meilleure qualité que ceux générés par les méthodes connues en termes d'angles dans les simplexes et de complexité.In this thesis, a practical approach to isotropic triangle mesh generation is proposed. In 2D as in 3D, the goal is to mesh the interior of a domain that possibly has a complex geometry. The studied approach consists in interleaving Delaunay refinement steps and mesh optimization steps, in order to generate quality graded meshes that satisfy size, shape, topology and approximation user-defined criteria for simplices. Widely used for simulation, finite element methods need graded meshes composed of well-shaped simplices. Alternatives to usual Delaunay refinement methods are developed. New mesh optimization methods, able to optimize internal and boundary vertices locations and to preserve the input boundary features, including sharp creases, are studied. In 2D, the optimization method is based on the Lloyd iteration and centroidal Voronoi tessellations (CVT). In 3D, a natural extension to optimal Delaunay triangulations (ODT) introduced by Chen that is able to optimize boundary vertices locations, is proposed. Our tetrahedron meshing algorithm is completed with a post-processing step that significantly improves the quality of tetrahedra dihedral angles. We finally give some experimental evidence that interleaving refinement and optimization results in generating meshes of higher quality than usual methods, in terms of simplices angles and number of vertices.NICE-BU Sciences (060882101) / SudocSudocFranceF

Filtering Relocations on a Delaunay Triangulation

Updating a Delaunay triangulation when its vertices move is a bottleneck in several domains of application. Rebuilding the whole triangulation from scratch is surprisingly a very viable option compared to relocating the vertices. This can be explained by several recent advances in efficient construction of Delaunay triangulations. However, when all points move with a small magnitude, or when only a fraction of the vertices move, rebuilding is no longer the best option. This paper considers the problem of efficiently updating a Delaunay triangulation when its vertices are moving under small perturbations. The main contribution is a set of filters based upon the concept of vertex tolerances. Experiments show that filtering relocations is faster than rebuilding the whole triangulation from scratch under certain conditions

Interleaving Delaunay Refinement and Optimization for 2D Triangle Mesh Generation

We address the problem of generating 2D quality triangle meshes from a set of constraints provided as a planar straight line graph. The algorithm first computes a constrained Delaunay triangulation of the input set of constraints, then interleaves Delaunay refinement and optimization. The refinement stage inserts a subset of the Voronoi vertices and midpoints of constrained edges as Steiner points. The optimization stage optimizes the shape of the triangles through the Lloyd iteration applied to Steiner points both in 1D along constrained edges and in 2D after computing the bounded Voronoi diagram. Our experiments show that the proposed algorithm inserts fewer Steiner points than Delaunay refinement alone, and improves over the mesh quality